南开大学数学专业考研是众多数学爱好者和学子梦寐以求的目标之一。以下是南开大学数学专业考研的一道典型题目及解析：
题目：
设函数$f(x)=\begin{cases} x^2, & x\leq 0 \\ ax b, & x>0 \end{cases}$在$x=0$处可导，求$a$和$b$的值。
解析：
我们根据可导的定义求出左右导数相等：
左导数：$f'_{-}(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0 h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^2-0}{h} = 0$
右导数：$f'_{ }(0) = \lim_{h \to 0^ } \frac{f(0 h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^ } \frac{ah b-0}{h} = a$
由可导的定义可知，左导数等于右导数，即$0=a$，解得$a=0$。
我们将$a=0$代入原函数中，得到：
$f(x)=\begin{cases} x^2, & x\leq 0 \\ b, & x>0 \end{cases}$
由于函数在$x=0$处可导，所以左右极限相等，即：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^ } f(x)$
代入$x=0$，得到$b=0$。
因此，经过计算可得$a=0$，$b=0$。
当$a=0$，$b=0$时，函数$f(x)=\begin{cases} x^2, & x\leq 0 \\ ax b, & x>0 \end{cases}$在$x=0$处可导。
希望以上解析对您有所帮助，祝您考试顺利！