双重积分考研题解析与解答
双重积分是数学中重要的概念之一，对于考研数学来说也是一个必须掌握的知识点。以下是一道典型的双重积分考研题目，我将为您进行详细的解析与解答。
考研数学双重积分题目：
计算积分 $\iint_D e^{x^2 y^2} dxdy$，其中 $D$ 为由曲线 $y=x^2$ 和 $y=2x$ 围成的区域。
解析与解答：
1.
确定积分区域 $D$：
我们需要确定曲线 $y=x^2$ 和 $y=2x$ 的交点，即解方程 $x^2=2x$，得到 $x=0$ 和 $x=2$。
因此，积分区域 $D$ 在 $x$ 轴上的投影为 $0 \leq x \leq 2$，而在 $y$ 轴上的投影为 $0 \leq y \leq 4$。因此，积分区域 $D$ 可表示为 $0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 4$。
2.
建立积分式：
将积分式中的 $e^{x^2 y^2}$ 转化为极坐标系下的表示形式。由于 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则 $x^2 y^2=r^2(\cos^2\theta \sin^2\theta)=r^2$。因此，$e^{x^2 y^2}=e^{r^2}$。
积分式可改写为 $\iint_D e^{x^2 y^2} dxdy = \int_0^2 \int_0^4 e^{r^2} r dr d\theta$。
3.
进行积分计算：
先对 $r$ 积分，后对 $\theta$ 积分。$\int_0^4 e^{r^2} r dr = \frac{1}{2} \int_0^4 e^{u}du$，令 $u=r^2$，则 $du=2rdr$，因此得到 $\frac{1}{2} \int_0^4 e^{u}du = \frac{1}{2} \left[e^u\right]_0^4 = \frac{1}{2}(e^41)$。
对 $\theta$ 积分，$\int_0^2 \frac{1}{2}(e^41) d\theta = \frac{1}{2}(e^41) \int_0^2 d\theta = \frac{1}{2}(e^41) \theta \bigg|_0^2 = (e^41)$。
4.
得出结果：
$\iint_D e^{x^2 y^2} dxdy = (e^41)$。
通过以上步骤，我们成功解答了双重积分考研题目，并得出了最终的积分结果。双重积分作为数学分析中的重要内容，在考研数学中也有其重要性，希望这个题目的解析对您有所帮助！