存在性：
命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地
（i）当?=?>0时，曲线有二共轭复渐近方向；
（ii）当?<0时，曲线有二不同实渐近方向；
（iii）当?=0时，曲线有二相同实渐近方向。
事实上，X：Y为渐近方向〈═〉Φ（X，Y）=0〈═〉?X?+2?XY+?Y?=0
〈═〉X：Y=（-?±?）：?
可见，对椭圆? ， ∵?=?=?>0
∴它有二共轭复渐近方向；对双曲线?，?=-?<0，
∴它有二不同实渐近方向；对抛物线y?=2px，?=?=0
∴它有二相同的实渐近方向；由此，称仅有复渐近方向的二次曲线为椭圆型曲线；有二不同实渐近方向的二次曲线为双曲线型曲线；有二相同实渐近方向的二次曲线为抛物型曲线。
二 中心：
1、定义：二次曲线上任意两点间的连接线段，若不沿渐近方向，则称其为弦。若存在一点C，使得过C的任一弦均被C平分，则称C为二次曲线的中心。
显然：二次曲线的中心正是它的对成中心。
2、求法：
定理1：点C（?，?）是二次曲线F（x,y）=0之中心〈═〉?，?是方程组
（*） 的解证："═〉"设C（?，?）是中心，而是过C的任一弦，该弦所在直线
l：? ， Φ（X，Y）≠0
令?（?+?X ，?+?Y），i=1，2，则?，?是方程
Φ（X，Y）t?+2[?（?，?）X+?（?，?）Y]t+F（?，?）=0的根
而
=? =?+? ∴?+?=0∴?（?，?）X+?（?，?）Y=0，由弦的任意性
∴?（?，?）=?（?，?）=0
"〈═"若C（?，?）的坐标满足?（?，?）=?（?，?）=0 过C任取曲线的弦，其方向为X：Y，从而若令?（?+t?X，?+t?Y），i=1，2，则?，?应是（*）二个根。
∵?（?，?）X+?（?，?）Y=0 ∴?+?=0
∵的中点坐标为
即C（?，?）是弦的中点 ∴C为中心
注：若一条二次曲线有唯一中心，则称其为中心二次曲线；没有中心的二次曲线称为无心二次曲线；有不止一个中心的二次曲线称为线性二次曲线，
关于上述三种二次曲线的判别标准，我们有
定理2：
（i）二次曲线为中心二次曲线 〈═〉?≠0
（ii）二次曲线为无心二次曲线 〈═〉?=0，但?：?≠?：?
（iii）二次曲线为线性二次曲线 〈═〉?=0且?：?=?：?
事实上，（i）二次曲线为中心二次曲线〈═〉（*）有唯一解〈═〉?≠0
（ii）二次曲线为无心二次曲线〈═〉（*）无解〈═〉
秩?≠秩?〈═〉
=0但?≠0〈═〉?=0且?：?≠?：?（vi）二次曲线为线性二次曲线〈═〉（*）有不止一个解〈═〉I2=0且
：?=?：?注：对线性二次曲线，由于?：?=?：?=?：? ∴方程组（*）同解于?（x,y）≡?x+?y+?=0 即线性二次曲线的中心充满直线
x?+?y+?=0——中心直线三 渐近线：
定义：过二次曲线的中心且沿其渐近方向的直线称为渐近线。
可见：椭圆型二次曲线有二共轭复渐近线；双曲型二次曲线有二不同实渐近线；而对抛物型二次曲线，若其为无心的，则其没有渐近先，若其为线性的，则由于其渐近方向为X：Y=-?：?，而这正是中心直线的方向，∴它的渐近线即为中心直线。
求法：
法1：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。
法2：求出中心C（?，?），对渐近线上任一点M（x，y），则（x-?）：（y-?）为渐近方向， ∴Φ（x-?，y-?）=0
性质：
命题：二次曲线的渐近线或者与曲线不交，或者整个位于曲线上，事实上，设
l：?为渐近线，其中（?，?）为中心，X：Y为渐近方向
∴Φ（X，Y）=0且?（?，?）=?（?，?）=0，∴若F（?，?）≠0，
则l与曲线不变，若F（?，?）=0，则l整个在曲线上。
函数与方程虽然是有区别的，但又紧密相关。二次函数与一元二次方程也不例外。这是本节标题把二次函数与一元二次方程合在一起的原因。但是几何与代数在建立迪卡尔坐标系之前是分开的，例如圆锥曲线属于几何学的范畴，二次函数与一元二次方程却属于代数学的范畴。现在通过解析几何把两者紧紧联系在一起了。
应该是一元二次方程的求根公式。
二次方程可谓是人类在数学探索的伟大成就之一，它最早是在公元前2000年到1600年，被古巴比伦人提出用于解决赋税问题。在4000多年后的今天，二次方程被用来解决更多样更复杂的数学应用问题，数以百万计的人（尤其是学生）都努力把二次方程公式铭刻在他们的脑海中。
有人说这是一个令人头秃的求根公式
你是否曾经被这个求根公式困扰过呢？
这个复杂的、难以记忆的公式，是为了求解二次方程ax?+bx+c=0而推导出的。当你还是一个可可爱爱的初中生，解方程便开始纠缠你。你为了想起这个无敌复杂的公式而挠破头皮，最终你还不得不重新推导一遍——往常的教学方式通常利用配方法将公式推导出来。
数学家们花费了几个世纪尝试了无数方法来求解二次方程，其中大部分方法都十分复杂甚至是“反人类”。“配方法”则是目前普遍采用的较为简单易懂的推导，这种方式并非凭借直觉，而是靠“补全平方”来求解。
二次方程课题的提出已有4000多年的历史，因其求解公式的复杂性，这也曾成为几个世纪代数学生的噩梦。
二次函数与一元二次方程的关系如下，别弄糊涂啊。
1、一元二次方程
二次函数
当函数值y=0时的特殊情况。
图象与x轴的交点个数：
①当
时，图象与x轴交于两点
，其中
的是一元二次方程
的两根。这两点间的距离
②当
时，图象与x轴只有一个交点；
③当
时，图象与x轴没有交点。
当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0； 当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0。2. 抛物线的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；?
（1）当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
（2）?当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
（3）当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负。
总结起来，c决定了抛物线与y轴的交点位置。
3.?二次函数常用解题方法总结：
⑴?求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵?求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数
中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷?二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.